这个问题的回答需要先建立几个基本概念。
第一个概念：什么叫做原电池
关于原电池，可以看我的帖子：
电池的正负极聚集了大量的正负电荷吗? - Patrick Zhang的回答 - 知乎
第二个概念：原电池的定量分析方法和能斯特方程式
从帖子中我们看到，原电池的两个极板必须浸泡在电解液中。原电池的每一个极板和电解液之间，实质就是氧化还原反应，而氧化还原反应是伴随着电子的转移的。我们把每个电极产生的电压叫做电极电位，其实就是单个电极的电动势。我们把两个极的电极电位结合起来，就得到原电池输出的电动势。
描述原电池输出电压的定量分析依靠能斯特方程式来实现。我们看百度百科怎么说：
当外电路接通后，随着时间的推移，电解液的浓度越来越高，电极也被腐蚀，整个原电池的温度也上升，于是原电池的输出电压也持续下降。等到原电池的输出电压降低到某个值后，它输出的电流已经无法有效地让外电路负载工作，我们就必须更换电解液，维修电极。
第三个概念：干电池与原电池的异同，干电池的内阻r
干电池虽然没有电解液，但它的工作原理与原电池是类似的。干电池用久后，它的内阻会上升，虽然干电池的电动势依然不变，但干电池输出的路端电压会下降。所以，我们只需要测量干电池的内阻，即可判定此干电池还能否继续使用。
一般地，一节新的1号干电池内阻一般是0.5到1欧左右，它的电动势是1.5V。当干电池用久了，它的内阻会上升到十几欧到数十欧，输出电压会下降到1V左右，此时干电池的寿命应当就到期了。
干电池的制造厂家，对电池的使用寿命，以及它的内阻阻值及变化，有详细的测试报告，可供参考。
我不知道现在的初中物理实验课是否有干电池内阻的测量实验。如果有，则试验电路可供参考。
有了上述基础知识，我们就可以来回答题主的问题了。
在居家情况下，测量设备和手段很受限。为此，我们需要一台万用表，以及一只20欧的电阻。一般地，找小区的电工就可以借到。准备好这些基本工具后，我们就可以开始测量了。
给个建议：对于居家来说，备用一只万用表还是必要的。一只普通数字万用表不过数十元，但会给我们带来维修方便。
第一：如果我们仅仅测量干电池的电压（电动势），是不能判定电池的新旧的
为何？干电池是新的也好，是旧的也好，它的电动势E变化不大。虽然用久了，电池电动势会略微下降，但不能用作干电池寿命的判据。
第二：测量干电池的电路和方法
我们看下图：
第一步，把干电池空置，用万用表的5V电压档测量它正负极间电压，此测量值就是电池电动势E
说明：当干电池空置后，电池内阻因为没有电流流过，所以它的电压降Ur=0。万用表5V电压档的测量值就是电源电动势E。
注意：一定要辨别清楚万用表的电压档后再测量。如果拨到电流档，电池会输出较大的电流冲击万用表，万用表可能损坏。
注意到我们把万用表的红、黑表棒搭接到电池正、负极后，其实万用表表头与干电池构成了电压测量电路，也会有很小的电流流过电池内阻r，所以万用表测得的电压值其实就是路端电压U，见图2。我们用U来代替E，这里当然存在误差，但误差很小，在居家的条件下，我们把误差忽略不计。
第二步，按图1搭建电路，用万用表的100毫安电流档测量电流I
在进行此测量时，一定要注意万用表的档位。如果错用电压档，此时万用表的内阻很大，则电流很小。虽然不会毁坏万用表，但无法获得准确信息。
第三步，我们就可以计算干电池内阻了
由图2，我们写出电路表达式： I=\frac{E}{r+R} ，并由此推得： r=\frac{E}{I}-R ，式1
测量和计算后，发现电池的内阻r在1欧上下，这些电池就是新的；如果r在十几欧到几十欧，则电池已经用了一段时间了，但还可以用；如果r在100欧以上，则此电池寿命已到，该丢弃了。
如果实在借不到万用表和电阻，还有一个简单的方法，就是利用光电鼠标来测量。 我们把电池置入鼠标，若鼠标在电脑界面上不见光标踪影，则此电池肯定要丢弃。反之，则可以继续使用。
用鼠标测量电池寿命比用电视遥控器测量要好，测量灵敏度更高。
