上班半个月，领导什么工作也没安排，如果是体制内的话，这很正常，题主不需要太过焦虑。
如果，是体制外的话，建议主动去向领导请示，要点工作做，也表现一下自己积极的工作态度。
体制内的话，建议慎重一下啊。
题主可以先了解一下，单位的工作氛围和习惯。
就像是你目前所看到的，本部门貌似没什么可做的，其他部门看起来也不忙，工作都很清闲。不放心的话，可以再多观察，或者通过其他渠道侧面了解一下，如果确认单位就是工作比较清闲，那就可以放心啦。
还有就是领导的喜好和工作作风也需要了解打听一下，如果你的领导就是比较佛系的那种，你就顺其自然吧。如果不是，你还是可以去向领导请示下，要点工作做，不过，这样有一定的风险——有可能，以后你们部门的工作都落在你头上了，领导难得找到一个积极的员工，正愁工作没法安排呢！
体制内经常有这样的情况，大家都是老油条，都磨洋工不积极工作，谁做了就是谁的工作，做的多了不见其有功劳，也和晋升加薪什么的不直接挂钩，所以久而久之，大家都形成这样的工作氛围。
题主主动申请了，可能会有这样的效果，不过也换来了心安不是吗？所以，还是劝题主了解下单位和领导的情况下，再做决定吧。
题主对面的派遣工说的情况，题主也可以侧面打听确认一下，是否属实，如果是真的，立马去申请工作积极表现吧。
祝好！
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